Введение в методы оптимизации

3.1. Основные понятия и теоремы Пусть X - непустое множество п-мерного евклидова про- сгранства , а / (х) - функция, заданная на этом множестве. Точку X* Е. X будем называть точкой мингшума (или точкой глобального минимума) функции / ( х ) на множестве X, если для любого X Е. X имеет место неравенство / ( х ) > /(-л:*). Значение /(•^*) в этом случае будем называть глобальным минимумом или просто минимумом функции / ( х ) на множе­ стве X. Глобальный минимум называют также минимальным ЯШнаименьшим значением f(x) HSLX . Функция f(x) непрерывно дифференцируе­ мой (или гладкой) на множестве X, если в любой точке этого множества существуют непрерывные частные производные , j = \,п . Класс функций, непрерывно дифференцируе- OXj мых на множестве X, обозначается С ' ( X ) . Вектор /'(х) = называется градиентом функции / ( х ) . df df д/ Эх, 5x2 J Градиент f i x ) указывает направление наибыстрейшего воз­ растания, а антиградиент {-f'{x)) - направление наибыст­ рейшего убывания / ( х ) в точке х. Пусть X - выпуклое множество и / ( х ) е С' (X). Будем говорить, что / ( х ) является выпуклой на X, если при всех х, X Е. X справедливо неравенство /(х)> / ( х ) +( / ' ( х ) , х - х ) . 59