Введение в методы оптимизации

2.4. Геометрическая интерпретация и графическое решение задачи линейного программирования Пусть имеется ЗЛП, записанная в виде (2.1) - (2.5), и пусть М~ множество точек пространства удовлетворяющих усло- вшм (2.2) - (2.5). Каждое из условий (2.4) задает гиперпло­ скость, а каждое из условий (2.2), (2.3) и (2.5) - полупространст­ во, т.е. множество М является вьшуклым замкнутым много­ гранным множеством пространства . Уравнения вида п = X при различных XER задают совокзшность гипер- ./=1 плоскостей, имеющих нормальный вектор с = (с,, с,,..., с„) и являющихся поверхностями уровня функции F{x). Если множество М непусто и существует наибольшее (или наи­ меньшее) значение Х =Х*, при котором такая гиперпло­ скость и множество М имеют хотя бы одну общую точку л:*, то X . является максимальным (или минимальньм) значением функции F{x) на М, г. х* - точкой, в которой этот максимум (или минимум) достигается. Поскольку множество М является замкнутым, то в слу­ чае ограниченности оно становится компактным, а тогда в силу непрерьшности линейной функцииF(x) ее максимум и минимум на Мдостигаются. Если же множество Мне явля­ ется ограниченным, то возможна ситуация, когда при сколь угодно больших (или малых) значениях XER гиперпло- ft скость "^CjX- - X и множество А/имеют общие точки, а зна- ./=1 34