Введение в методы оптимизации

Точка X называется предельной точкой множест­ в а х с если любая окрестность этой точки содержит точки из X, отличные от х. При этом сама точка х может не принадле­ жать X. Если же любая предельная точка множества X принад­ лежит этому множеству, то оно называется замкнутым. Множество X называется ограниченным, если существу­ ет число d >0, при котором для любых х,у е X имеет место \x~y\<d. Множество X называется компактным, если оно является ограниченным и замкнутым одновременно. Доказы­ вается, что непрерывная функция на компактном множестве всегда имеет наибольшее и наименьшее значения. Точка X называется граничной точкой множества X с если любая ее окрестность содержит точки, принад­ лежащие X, и точки, не принадлежащие X Совокупность всех граничных точек называется границей множества X. Множество X называется выпуклым, если для любых х,у&Х и любого ае[0;1] точка х +а ( у - х ) принадлежит этому множеству. Совокупность точек вида х +а ( у - х), а е [0;1] есть отрезок [х;у]. Таким образом, множество X яв­ ляется выпуклым, если произвольный отрезок, соединяющий две точки из X, целиком лежит в X. Примерами выпуклых множеств в Е^ (на плоскости) служат отрезок, прямая, круг, треугольник, параллелограмм, трапеция, полуплоскость, вся плоскость. Окружность и кольцо не являются выпуклыми множествами. Простейшими примерами выпуклых множеств в Е^ являются следующие: 24