Введение в методы оптимизации

венный локальный минимум. Если функция имеет несколько локальных минимумов, то она называется л«ногоэкстр(гл(.аяьной. Приведем два примера унимодальных функций. 1) Функция / ( x )=| x | на числовой прямой R имеет единственную точку локального минимума х =0 , в которой достигается наименьшее значение, равное нулю. Это означа­ ет, что f(x) унимодальна на R. Нетрудно убедиться, что / ( х ) унимодальна на любом конечном отрезке [аф] или на полупрямой вида [а;оо) или (-оо;^?], 2) Функция / ( х ) = cos д: на отрезке [0; 2п] имеет единственную точку локального минимума д: = т:, в которой достигается наименьшее значение, равное -1 . Это означает, что f{x) унимодальна на [0;27t]. Однако f{x) = cosx не яв­ ляется унимодальной на отрезке[—л:/2;37:/2], поскольку имеются две точки локального минимума х = -%12 и X=TI, из которых только во второй f{x) достигает своего наи­ меньшего значения на отрезке. Функция /(х) называется липшицевой на множестве X, если существует число Z > О, при котором Ух,уеХ :\f{x)-f{y)\<L\x-y\. Наименьшее число L, удовлетворяюшее этому условшо, назьшается константой Липшица для функции / ( х ) на множе­ стве X. Из липшицевости / ( х ) на X всегда следует ее непре­ рывность, но обратное в общем случае неверно. Если же / ( х ) дифференцируема на Z и при этом производная / ( х ) ограни­ чена, то / ( х ) является липшицевой на Z и Z = sup | /(х) | . xe.V 10