Дискретная математика

42 § 8. Кольцо с единицей Если в кольце Д/сзществует единица огносигельно умножеш^то эту мультипликативную единицу обозначают через 1. Легко доказать, что мультипликативная единица (как и аддитивная) единственна. Мультипликативн}'ю обратную для aeR (обратную по умножению) будем обозначать через а ' . Теорема 2.9. Элементы О и 1 являются различными элементами ненулевого кольца R. Доказательство, Пусть R содержит не только 0. Тогда для а имеем <3=0=0 и а°1=а откуда следует, что О ибо если бы 0=1, то и их произведения на а совпадали бы. Теорема 2.10. Аддитивная единица, т.е. О, не имеет мультипликативного обратного. Доказательство. ао0=0ой=0 7^1 для VaeR. Таким образом, ненулевое кольцо никогда не будет группой относительно умножения. Характеристикой кольца R называют наименьшее натуральное число к такое, что a + a + ... + Q = 0 для всех aeR. Характеристика кольца к-раз записывается k=char R. Если указанного числа к не существует, то полагаем char R=0. ПустьZ - множество всех целых чисел; множество всех рациональных чисел; R - множество всех действительных чисел; С - множество всех комплексных чисел. Каждое из множеств Z, О, R, С с обычными операциями сложения и умножения является кольцом. Эти кольца являются коммутативными, с мультипликативной единицей, равной числу 1. Эти кольца не имеют делителей нуля, следовательно, являются областями целостности, ' Хараи-еристика каждого из этих колец равна нулю. Кольцо непрерывных на [а,Ь] функций (кольцо C[a,bJ) тоже является кольцом с мультипликативной единицей, которая совпадает с функцией, тождественно равной единице на [а,Ь]. Это кольцо имеет делители нуля, поэтому не является областью целостности и char C[a,bj=0. Рассмотрим ещё один пример. Пусть М - непустое множество и R=2^ - множество всех подмножеств множества М. На R введем две операции: симметрическую разность А+В-ААВ (которую назовём сложением) и