Дискретная математика

41 Итак, мы показали, что для Vx еЯ: х°0 = 0°х = 0. Однако из равенства хоу=0 не следует, что x=0 илиз^^О. Покажем это на примере. Пример. Рассмотрим множество непрерывных на отрезке [а,Ь] функций. Введем для этих функций обьиные операции сложения и умножения: f(x)+(p(x) и f(x)-<p(x). Как легко видеть, получим кольцо, которое обозначается С[а,Ь]. Рассмотрим функцию f(x) и (р(х), изображенные на рис. 2.3. Тогда получим, что/(х^#0 и <р(х)ФО, но f(x)-(p(x)=Q. Мы доказали, что произведение равно нулю, если равен нулю один из множителей; а°0=0 для VaeR и на примере показали, что может быть, что a °b~'Q для и Если в кольце R имеем, что а°Ь=0, то а называется левым, а Ь правым делителями нуля. Элемент О считаем тривиальным делителем нуля. А (р(х) d ^ Рис. 2.3 Коммутативное кольцо без делителей нуля, отличных от тривиального делителя нуля, называют целостным кольцом или областью целостности. Легко видеть, что 0=х°(>+ (-у)) =хоу+х°(-у), 0=(х+ (-х)) oj' =х°у+(-х) °у и поэтому х°(-у)=(-х)°у является обратным элементом дляэ л е м е н т а т . е . У: о (- у ) = (.х)оу = -(хоу). Аналогично можно показать, что (-^)°(-у) = х°у.