Дискретная математика

40 называется порядком элемента а. Если такого п не существует, то элемент а называется элементом бесконечного порядка. Теорема 2.7 (малая теорема Ферма). Если аеОтл G конечная группа, то Примем без доказательства. Напомним, что каждая группа (G, ° ) является алгеброй с одной бинарной операцией, для которой выполняются три условия, т.е. указанные аксиомы группы. Подмножество Gj множества G с той же операцией, что и в группе, называется подгруппой, если (Gj, "^является группой. Можно доказать, что непустое подмножество Gi множества G является подгруппой группы {G, ° } тогда и только тогда, когда множество G; вместе с любыми элементами аяЬ содержит элемент а°Ь''. Можно доказать следующую теорему. Теорема 2.8. Подгруппа циклической группы является циклической. § 7. Алгебра с двумя операциями. Кольцо Рассмотрю^ алгебры с двумя бинарными операциями. ^ ""Жолщом называется непустое множество /?, на котором введены д в е \ |бинарные операции + и называемые сложением и умножением такие, что; \ 1) (7?;является абелевой группой; ) 2) умножение ассоциативно, т.е. для Va,b,c £R: (a°b°)°c=a°(b°c)-, , 3) умножение дистрибутивно относительно сложения, т.е. д л я ^ "^^ —^...Ygjb.ceR: a''{b+c)=(a°b)+(a°c) и (a-rb) °c= (a°c)+(b°c). Кольцо называется коммутативным, если для Va,beR: aob-bm' Кольцо записывегем как {R; +,°). Так как R является абелевой (коммутативной) группой относительно сложения, то она имеет аддитивную единицу, которую обозначают через О или вч называют нулем. Аддитивную обратную для aeR обозначают через -а. При этом в любом кольце R имеем; 0+х=х+ 0=х, x+(-xJ = f-xJ+x-0, -f-xj=x Тогда получаем, что х°}'=х<>(}'+ 0j=x>^}'+x °0 =? х°0=0для VxeR: х°у=(х+ 0)у=х°у+ Qoy ^ Ооз'=0 для VyeR.