Дискретная математика

39 Доказательство. I) (a °b)°b''°d'='ao(b°b'')od'=a°e°d'=a°d'-e; b''°d' °(a°b) = h''° (d' °a)°b= e. Следовательно, b'' °d' является обратным элементом для (a °b)\ 2) a°b=a°c =>d'°(a°b)=d'°(a°c)^(d'°a)<'b=(d'°a)°c =>e°b=e°c => b-c. Аналогично для остапьных утверждений. Теорема 2.6. В группе можно однозначно решить уравнение а°х-Ь. Доказательство. а°х-Ь =>а'° (а°х)=а'аЬ ^ (d' °a) °x=d'°b => е°х = d' °b => х = d' °b. Группа называется коммутативной или абелевой, если для Va.beG: aob=b °a. Положим, что если к=0, то Ь'' =• е; если к >0, то -b °b°...°b; если же k<0,TO -b'^ °b''°...°b''. '' крзз (-к) раз Пусть В - некоторое подмножество группы G. Если любой элемент а мультипликативной (аддитивной) группы G можно представить в виде произведения (суммы) элементов из В и их обратных, то элементы из В называются образующими. Так, если B={bi, ..., b „} и для Va sG имеем; то элементы множества В являются образующей ipyraiH._ \ Грутйпа с одной образующей называется циклической." ' - - • - - ,, _ "Таким образом, в циклической группе с образующей а, любой элемент^ '^j'pynnbi представим в виде Ь=а'", где т - некоторое целое число,.! 'Циклическая группа состоит из степеней одного элемента. Для этой группы существует две возможности. Либо все степени а различны, тогда циклическая гоуппа ..., d^, d', а=е, а , а^, ... бесконечна. Либо оказывается, что существуютк я т такие, что: c^=d", к>т>0, тогда а^-"'=е (к-т>0). Пусть в этом случае и-наименьший положительный показатель, при котором а"=е. Тогда степени О 2 ^п-1 -Ч ;i. . а, а , а, .... а различны, иначе, если а''=а* (0<к< h<n), то получим, ^гго а^'''=е (0<h-k<n), что противоречит выбору числа п. Наименьшее целое положительное п такое, что