Дискретная математика

38 Отметим, что существуют другие эквивалентные определения группы. Если операция в группе называется умножением, то группа называется мультипликативной, если групповая операция называется сложением, т о группа называется аддитивной. Рассмотрим примеры, 1. Множество невырожденных квадратных порядка п^п матриц действительных чисел образует группу относительно операции умножения матриц. Единицей группы является единичная матрица, а обратным элементом - обратная матрица. Эта группа является мультипликативной группой. 2. Все целые числа образуют аддитивную группу относительно операции сложения чисел. Единицей группы будет О, а обратным элементом для числа т является число (-т). 3. Пусть М - непустое множество и - множество в с е х подмножеств множества М. На G введем операцию как симметрическую разность: АоВ=АЛВ. Можно убедиться, что эта операция ассоциативна. Пустое множество будет единицей,ибо А°0=АЛ0=А и 0=>А=0ЛА=А. Обратным к А будет сам элемент У 4, так как АЛА=0. Таким образом, G с введенной операцией симметрической разности является группой. Теорема 2.4. Обратный элемент в группе единственен. Доказательство. Допустим, что для а существует два обратных элемента а/' и а/', тогда е = af' °a= а2'°а=е. Умножив элементы этого равенства справа на а,'', получим af' -(af' °a)oai''= (a2''°a)°ai'= af' ^ a f ' = a2'°(a°ai'')= ai' ^ af'= ai'. Теорема 2.5. В группе выполняются следующие соотношения: 1) (а°Ь) ''-Ь °а''; 2) если аоЬ= а° с, то Ь=с; 3) если Ь°а = с° а, 10 Ь=с; 4) fa-')-' =а.