Дискретная математика

37 Доказательство. Допустим, существуют две единицы: е,,е2еС. Известно, что для VaeG: е°а-а'>е-а. Тогда е; ° 62=62- eioe2 =е ; ^ е ; = единица единица Теорема 2.3. Всякий моноид над множеством М изоморфен некоторому моноиду преобразований надМ Доказательство. Пусть имеем моноид над М М=(М;»}. Построим новое множество G, элементами которого являются отображения (преобразования) fg множества Мъ М: fg(x)=X 'g, здесь x,g Е М. Введём операцию «о» на построенном множестве: fg °fg = fg^. Эта операция ассоциативна в силу ассоциативности операции ». Роль единицы относительно операции о играет fe, где е единица в М, Построим теперь отображение (р множества M b G \ 9(g)=fg- Это отображение, очевидно, является взаимно однозначным. Кроме того, имеем: 9(8" я) т.е. (р сохраняет операцию. Таким образом моноид А~(М;о} изоморфен моноиду B={G, Что и требовалось доказать. § 6. Группы .'Группа - это моноид, в котором для любого элемента существует обратный элемент, т.е. Va3d': a °d'=d' °а=е, i -адесь d' считается рбр.здньщ к .элещнту.а исГЛрша дл е ^ т это1^ моноиду.^* Собирая все аксиомы (условия), получим следующее определение группы. Множество G с одной бинарной операций «°» называем группой, если: 1) операция ассоциативна, т.е. для ¥ а,Ь,спз G: а°(Ь°с)= (а°Ь)°с: 2) существует единица в G, т.е. такой элемент eeG, что для VaeG: а°е=е°а=а; 3) для любого элемента ае G существует обратный элемент, т.е. такой элемент а' е G, что a °d'=d' °а-е.