Дискретная математика

43 пересечение (которое назовём умножением). Можно убедиться, что получили кольцо с единицей; аддитивной единицей этого кольца будет 0, а мультипликативной единицей кольца будет множество М. Для этого кольца при любом А, А sR, имеем; А+А =АЛА=0. Следовательно, charR = 2. § 9. Поле Полем называется коммутативное кольцо, у которого ненулевые элементы образуют коммутативную группу относительно умножения. Приведем прямое определение поля, перечисляя все аксиомы. Поле - это мнолсество Р с двумя бинарными операциями «+» и «=», называемыми сложением и умножением, такими, что: 1) сложение ассоциативно: для Va, b, ceR: (a+b)+c=a+(b+c)-, 2) существует аддитивная единица: Э О еР, что для Va еР: а4-0=04-а=а; 3) существует обратный элемент по сложению: для Va еР 3(-а) еР: (-а) +а=а+(-а) =0; 4) сложение коммутативно: для Va, ЬеР: a+b=b+a\ (аксиомы 1 ~ 4 означают, что поле есть абелева группа по сложению); 5) умножение ассоциативно: для Va, b, сеР: 6) существует мультипликативная единица: Б 1 еР, что для VaeP: loa=a<il =а; 7) для любого ненулевого элемента (а 9^0) существует обратный элемент по умнолсению.- для VaeP, а За' еР: а''"а = a^d'=\\ 8) умножение коммутативно: для Va,beP: a<>b=b'>a', (аксиомы5 - 8 означают, что поле без нулевого элемента образует коммутативную группу по умножению); 9) умножение дистрибутивно отгюсительно сложения: для Va, b, сеР: ao(b+c)=(aab)+(a °c), ( Ь+с) о a=(b<>a)+(c<'a). Примеры полей; 1) (R;+,x}- поле вещественнькчисел; 2) (2/+- поле рациональных чисел; 3 ) {С;+, поле комплексных чисел; Щ) пусть Р^={0,1). Определим, что 1 +2 0=0 +21=1, 1 +2 1=0, О +2 0=0, 1x0=0x1=0x0=0, 1x1=1. Тогда р2=(Р2;+2, х ) является полем и называется двоичной арифметикой. Теорема 2.11. Если а то в поле единственным образом разрешимо уравнение а''х=Ь. Доказательство. а°х=Ь =>а'^о(аох)~а^оЬ =?•