Дискретная математика

34 FI(XI,X2,...,X „^ EBT- в результате получаем, что FI(XI,X2,...,X „,) ЕВ, т.е. В- подалгебра. Теорема доказана. Рассмотрим алгебру А = ( ' { 1 , 2 , 3 , . П у с т ь Aj~{2A,6,.-.} я Л2={3,6,9,...). Очевидно, что и Аг порождают подалгебры данной алгебры и пересечения этих подалгебр тоже является подалгеброй. Объединение множеств /I; и А2 равно; ^,L7^2={2,3,4,6,8,9,...}. Полученное множество A1UA2 не замкнуто относительно операции сложения, ибо, например, 2+3=5, но 50(AiuA2). Таким образом, объединение подалгебр не всегда является подалгеброй данной алгебры. § 4. Морфизмы алгебр Будем рассматривать однотипные алгебры А ={А; Qf) я В ={В, Па), где = (Fi, Р2. FJ. t ~(mj,m2, m, - число аргументов F,; (Gi, G2, .... G,J, T=(mj,m2,...,mJ, от,-число аргументов Gt. Таким образом, рассматриваем алгебры, в каждой из которых введены одинаковые числа (и) операций н для каждого /, i < п, числа аргументов операций F; и Gi одинаковы. Всякое отображение (р основного множества А в(на) основное множество В называем отображением алгебры А в(на) алгебру В. Изоморфизмом алгебры А =(А; F,, F2, F „) в(на) однотипную алгебру В =(®; Gj, G2, ..., GJ называется взаимно однозначное (биективное) отображение р множества А в(на) В, сохраняющее главные операции алгебры, т.е. для которого выполняются соотношения; <p(Fi(x,,X2, x, „^)=Gi(ip(xj), .... ( р(х„}) (2.1) для всех i, 1 S г" < и, и для любых xi, .... Х„,.Е А. Изоморфизм алгебры на себя называется автоморфизмом. Гомоморфизмом алгебры А =(А: Fj, Fi F „J в(на) однотипную алгебру В =(В; G), Gi GJ называется отображение (р .множества А в(на) множество В, сохраняющее главные операции алгебры, т.е. для которого выполняются условия (2.1) для всех /, 1 < / < Пи ,Л,ПЯ ГТЮбьТХ Ту, Х;, Пусть А = { в={ (-00,00);+ ;. Обе алгебры имеют тип т = (2). Рассмотрим отображение щх) = 1п(х) множества (О, со) на множество f-oo,oo). График функции 1п(х) приведён па рис. 2.1. Это отображение 7 ^J Рис. 2.1