Дискретная математика

33 Алгебраическая система называется алгеброй, если Ир~0и £2f 7^ 0 ш моделью (реляционной системой), если 0 ^ Qp ^ 0. Следовательно, алгебру можно ввести следующим образом. Алгебра - непустое множество А, на котором задана совокупность операций, переводящих элементы из ^ в Л. Пример. Пусть А = (Q,co) и введем операции +,><,/, д/~. В результате имеем алгебру положительных вещественных чисел. Будем рассматривать алгебры с конечным числом операций. Пусть имеем алгебру с п операциями Fi, F2,..., F „ и пусть т , число аргументов операции Fy (1< i £n). Тогда вектор т = (т,, т2,..., mj называют типом алгебры. Так, рассмотренный пример алгебры имеет тип г= (2,2,2,1). Рассмотрим еще один пример. Пусть А = {..., -2, -I, О, 1, 2, ...} и на этом множестве введены две операции: + и х. Ясно, что тип алгебры равен: г = (2,2). § 3. Подалгебры Пусть имеем алгебру (А; здесь f2f - множество п операций на непустом множестве А. Положим, что тип алгебры есть (тп;, т„). Подмножество В множества А называется замкнутъш относительно операции Fi, если F, переводит элементы из 5 в это же В, т.е. для Vx,, l75c2,..., Vx „,.£B имеет место, что Fi(x], Х2, ..., еВ. Если подмножество В (В с А) замкнуто относительно всех операций алгебры, то В =(В; .Qr^ называют подалгеброй алгебры {А; Qf}. Иногда вместо В говорят, что'5-подалгебра, подразумевая, что на В определены те же операции, что и для всей алгебры. Пусть А=[0>,со) и введем операции сложения (+) и умножения (>«). Множество натуральных чисел = {О, 1, 2, ...} содержится в А я замкнуто относительно операций + и х. Поэтому N порождает подалгебру в алгебре {[0,оо);+,х Теорема 2.1 Пересечение любой совокупности подалгебр данной алгебры либо пусто, либо является подалгеброй данной алгебры. Доказательство. Пусть имеем некоторое множество подалгебр данной алгебры (А; Г2р}. Рассмотрим пересечение этих подалгебр и пусть это пересечение равно В (B^nBjJ. Если В=0, то утверждение теоремы доказано. Пусть В7^0. Выберем произвольную операцию F; из Дг ' и произвольные элементы xi,x2,...,xi „j из В. Так как пересечение всех подмножеств Вь то элементы х1,х2,...,хт^ принадлежат каждому В^ и так как В^ подалгебра, то