Дискретная математика

35 является взаимно однозначным отображением множества fO, со) на множество (-оо,оо). Выясним, сохраняется ли операция, т.е. будет ли произведение переходить в сумму. Имеем; (p(a'x-b)=ln(a^h)=ln a+ln b=(p(a) + (p(b). ^ / Таким образом, образ произведения равен сумме образов сомножителей. Следовательно, отобрансение (р(х)-1п(х) в данном случае является изоморфизмом А на fi. Пусть А -( (О, со); + }, В=( (-оо,со); Введем отображение q)(x)=e^. График функции приведён на рис. 22. Тогда имеем; ср(х+у) = = (р(х)-(р(у). Таким образом, образ суммы равен произведению образов. Следовательно, это отображение является изоморфизмом А в В, так как q> отображает взаимно однозначно множество СО, «5) на часть множества (-<io,oo), ибо >1 . Пусть А =( {О, 1, 2, ...}; + ), В ={ {О, 1, 2, сложение по модулю 10 (3+4=7, 3+8=1, 3+9=2, X Рис, 2.2 9}; +У0 А где +W есть , , т.е. из результата вычитается кратное десяти). Построим отображение у=(р(х), где у равняется остатку от деления х на 10 (если х=10, то >^=0, если х=19, то >>=9), Это отображение (р не является взаимно однозначным, ибо (р(\^)= (p(iQi)=Q, (р(\\)= ^9(31^=1 и т.д. Теперь проверим, сохраняет ли (р операцию, т.е. будет ли выполняться равенство (р(п+к)= (р(п) +io (р(к). Имеем: g-10 + r = —^ +— = д]-10+?)+д'2'10 + Г2 = 10 10 "^io = Г?1+д2.'х10 + Г1 +Г2. Г1 <9,Г2<9. Теперь имеем, что (р(п+к) = г = Г] +уо = (р(п) +jo <Р(к)- Таким образом, это отображение сохраняет операцию, следовательно, является гомоморфизмом. Пусть М - множество квадратных п х-п матриц действительных чисел и на М введена операция умножения матриц, т.е. имеем алгебру А =(М; типа г = (2). Положим, что В =((-оо,со);в}, Здесь «I»» означает обычное умножение чисел. Введем отображение ip(C)=det(C), когда матрице С ставится в соответствие ее определитель (det(C)). Очевидно, имеем ср(С>^D)= det(CxD)= detC »detD= ( р(С)о cp(D). Ч ^