Математическая логика и теория алгоритмов

При указанном изоморфизме каждый элемент или операция, за­ писанная в некоторой строке таблицы, для одной из алгебр переходит в соответствующий элемент или операцию, записанную в той же строке для другой алгебры. Легко показать, что существует изоморфизм между стандартной логикой Лукасевича Li (с максиминными операциями) и алгеброй не­ четких подмножеств с операциями дополнения, пересечения и объе­ динения, введенными по (5.3), (5.4) и (5.5) соответственно. Действи­ тельно, функцию принадлежности 1-L B ( X ), л:еХ, с помощью которой задается нечеткое подмножество В на универсальном множестве X , можно интерпретировать как функцию, задающую степени истинно­ сти (истинностные значения) утверждения <а является элементом подмножества5 » в L\. Обратно, истинностные значения утверждения «х является Ру> в L\, где Р - нечеткий предикат (такой, кг. ¥ . молодой,высокий,краси­ вый и т. п.) можно интерпретировать как значения функции принад­ лежности нечеткого подмножества со свойством Р , определенного на X . Изоморфизм тогда следует из того, что логические операции в L\, определенные по формулам (5.2), в точности совпадают с опера­ циями для нечетких подмножеств. Стандартная логика Лукасевича L\ является лишь одной из воз­ можных бесконечнозначных логик. Другие бесконечнозначные логики со значениями на [0,1] можно строить, например, вводя иначе, чем в L\ операции, Для каждого частного случая такой бесконечнозначной логики можно ставить в соответствие изоморфную алгебру нечетких подмножеств с новыми операциями. Таким образом, исследование бесконечнозначных логик равносильно исследованию нечетких под­ множеств (алгебры нечетких подмножеств) и наоборот. Кроме того, для каждой многозначной логики можно ставить в соответствие некоторую изоморфную алгебру нечетких подмножеств с некоторыми операциями. Рассмотренная нечеткая логика, т.е. множество нечетких выска­ зываний с операциями 1, & иv, является по существу некоторым рас­ ширением понятия многозначной логики. Такая нечеткая логика счи- 204