Математическая логика и теория алгоритмов

"Начала" Евклида служили образцом ясного и строгого изложения. Кризис основ математики, в частности, и создание неевклидовых гео­ метрий вынудили пересмотреть основы геометрии и отказаться от по­ нятия аксиомы как самоочевидной истины. Выяснилось, что интуиция во многих случаях может "подводить", приводить к неприятностям (противоречиям). Поэтому пришлось, по возможности, отказаться от попыток обращения к интуиции при построении геометрии и ввести как аксиомы все свойства и "очевидные" положения, которые Евклид использовал в геометрии, но не вводил их в постулаты и аксиомы. Доведение строгости геометрии до некоторых современных понятий строгости было завершено в работах Паша (1882г.) и Гильберта (1899г.). В настоящее время имеются различные редакции задания гео­ метрии. Введем задание геометрии (аксиоматику Гильберта) согласно работе [11]. Геометрия считается заданной, если: 1. Задано три различных множества; а) элементы первого множества называются точками и обозна­ чаются черезу4,ДС,...,^1, Bi, Въ..., С], Cj,...; б) элементы второго множества называются прямыми и обозна­ чаются через а,Ь,с,..., а\, b\,Ьь--., C|, Сг,...; в) элементы третьего множества называются плоскостями и обозначаются через а,Р ,у а i, а 2,—, Рь p2v j Уь ь>-- Множество всех точек, прямых и плоскостей называется пространством. На множестве точек, прямых и плоскостей введены отношения, обозначаемые словом "лежат", "между" и "конгруэнтно". 2. Считается, что мы в состоянии различить, является ли данная последовательность выражений правильно построенным выражением геометрии или нет. 3. "Точки", "прямые", "плоскости" и отношения между ними, обозначаемые словами "лежат", "между" и "конгруэнтно", подчиняют­ ся перечисляемым далее аксиомам, во всем остальном природа их произвольна. Подчеркнем еще раз, что под "точками", "прямыми" и "плоскостями" можно понимать любые объекты, а под словами 143