Математическая логика и теория алгоритмов

1) заданы алфавит А (алфавит теории В) и правила образования выражений (слов) теории S; 2) заданы правила образования правильно построенных выра­ жений (формул) теории S; 3) из множества правильно построенных вырал4ений выделяется некоторое подмножество - множество аксиом теории В. В настоящее время многие математические теории строятся (задаются) в виде полуформальных аксиоматических теорий. Однако при этом построение их не доводится до того вида, какого требуют пп.1) - 3). Во многих случаях алфавит не перечисляется, кроме того, не задаются правила образования слов и правильно построенных вы­ ражений, а считается, что мы в состоянии отличить, является ли про­ извольное предложение правильно построенным выражением теории. Например, предложение "в равнобедренном треугольнике углы при основании равны" отнесем к правильно построенным выражениям геометрии, а "треугольник - зеленый" к таковым не отнесем, хотя правила построения правильно построенных выралсений геометрии и не сформулированы. Рассмотрим именно такой пример полуформаль­ ной аксиоматической теории, когда ее "строгость" не доведена до тре­ бований 1) - 3). Однако, как будет видно из построения, эту теорию можно построить и согласно требованиям 1) - 3). Прежде чем задать геометрию в виде полуформальной аксиома­ тической теории, нужно отметить следующее. Геометрия вначале развивалась как эмпирическая наука и в ран­ ний период достигла особо высокого уровня развития в Египте. В пер­ вом тысячелетии до н. э. греческие геометры не только обогатили геометрию многочисленными новыми фактами, но и предприняли также серьезные шаги к строгому ее логическому обоснованию. Многовековая работа греческих геометров за этот период была подытожена и систематизирована Евклидом (330-275 гг. до н. э.) в его знаменательном труде "Начала". На протяжении более чем 20 веков 142