Вычислительная физика

47 ГЛАВА 3. МЕТОДЫ ПРИБЛИЖЕНИЯ ФУНКЦИЙ §3.1. Постановка задачи аппроксимации и интерполяции функций В вычислительной математике нередки случаи, когда одну функцию приходится заменять другой, более простой и удобной для дальнейшей работы. Такую задачу называют аппроксимацией функции. Поводом для аппроксимации функции может послужить, в частности, табличный способ ее задания. Предположим, что в результате некоторого эксперимента для конечного набора значений i x величины x из отрезка   , a b 0 1 2 ... n a x x x x b       получен набор значений , 1, i y i n  величины y . Если допустить, что между x и y существует функциональная зависимость   y f x  , можно поставить вопрос о поиске аналитического представления функции   f x . Повод для аппроксимации может возникнуть даже тогда, когда аналитическое выражение некоторой функции   y f x  имеется, однако оно оказывается мало пригодным для решения поставленной задачи, потому что операция, которую требуется осуществить над этой функцией, трудновыполнима или невыполнима совсем. Например, вычисление значения трансцендентной функции «вручную». Действительно, чтобы вычислить ln3.3256 , проще всего воспользоваться степенным разложением функции, т.е. заменить трансцендентную функцию степенным рядом. При этом получается приближенное значение функции. Другая ситуация, когда может потребоваться аппроксимация аналитически заданной функции – дифференцирование функции, вычисление определенных и неопределенных интегралов. Если аналитическое выражение функции достаточно сложное, то поставленная задача трудно выполнима, а иногда и невыполнима с помощью элементарных приемов. Например,