Вычислительная физика

30 ГЛАВА 2. ИТЕРАЦИОННЫЕ МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ СИСТЕМ ЛИНЕЙНЫХ АЛГЕБРАИЧЕСКИХ УРАВНЕНИЙ Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида 11 1 12 2 1 1 21 1 22 2 2 2 1 1 2 2 ... , ... , ... ... . n n n n n n nn n n a x a x a x b a x a x a x b a x a x a x b                    (2.1) Вводя в рассмотрение матрицы 11 12 1 21 22 2 1 2 ... ... ... ... ... ... ... n n n n nn a a a a a a A a a a              , 1 2 ... n x x x x              , 1 2 ... n b b B b              (2.2) систему (2.1) можно записать в виде матричного уравнения Ax B  . (2.3) Для решения систем линейных алгебраических уравнений существуют точные методы: метод Гаусса, с помощью обратной матрицы (матричный метод), по формулам Крамера. Однако, при большом числе неизвестных применение точных методов решения затруднено. В этом случае для нахождения корней системы (2.1) целесообразнее пользоваться приближенными (численными) методами, которые и будут рассмотрены в данной главе. §2.1. Метод простых итераций для решения систем линейных алгебраических уравнений Пусть дана система линейных алгебраических уравнений вида (2.1). Предположим, что диагональные элементы матрицы A не равны нулю, т.е. 0, 1, ii a i n   (в случае равенства одного или нескольких из них нулю, с помощью перестановки уравнений или других эквивалентных