Кинематика. Статика. Динамика точки

П о э т о м у у р а в н е н и е (и) м о ж н о н а п и с а т ь т а к : d f ^ dy dx' (it y x\ „ И н т е г р и р у я э т о у р а в н е н и е , н а х о д и м : dy dx ^ ' ' Ж ~ У 1 Г = С . ( 4 4 ) П о л у ч е н н ы й и н т е г р а л н а з ы в а е т с я и н т е г р а л о м п л о щ а д е й . В ы я с н и м г е о м е т р и ч е с к и й с м ы с л э т о г о и н т е г р а л а . П р е о б р а з у е м д л я э т о г о п р я м о у г о л ь н ы е о с и к о о р д и н а т xyz в п о л я р н ы е , по­ м е с т и в п о л ю с в н а ч а л е к о о р д и н а т . П у с т ь м а т е р и а л ь н а я т о ч к а и з М п е р е ш л а в М', а е е п р о е к ц и я и з то—в т'. Н а з о в е м у г о л м е и { д у р а д и у с о м - в е к т о р о м п р о е к ц и и т о ч к и и о с ь ю Ох ч е р е з т о г д а : c p = : a r c t g - ~ . Е с л и п р о д и ф е р е н ц и р у е м п о в р е м е н и в ы р а ж е н и е 9 , т о н а й д е м : dy dx dy dx . dy . dx rf--? _ dt ^ dt _ Л I (It У W _ ^ dt У dt dt x^ Ч Л'- / + y- r- П р и в е д я к о д н о м у з н а м е н а т е л ю , и м е е м ; , da dv dx г = -7Г—у-7ГГ- dt dt dt З а м е н и в в т о р у ю ч а с т ь э т о г о у р а в н е н и я е е з н а ч е н и е м и з у р а вне­ н и я ( 4 4 ) , н а х о д и м : (45) О б р а щ а я с ь к ч е р т е ж у , з а м е ч а е м , ч т о е с т ь у д в о е н н а я эле­ м е н т а р н а я п л о щ а д ь Отт', о п и с ы в а е м а я п р о е к ц и е й р а д и у с а - в е к­ т о р а в б е с к о н е ч н о м а л ы й п р о м е ж у т о к в р е м е н и . Н а з ы в а я э л емен­ т а р н у ю п л о щ а д ь ч е р е з d a , и м е е м : г^й?(р=2 п л о щ . {Отт']=2do, и у р а в н е н и е ( 4 5 ) п р и н и м а е т в и д : В ы р а ж е н и е~ у к а к и з в е с т н о , е с т ь с е к т о р и а л ь н а я с к о р о с т ь т о ч к ит . И т а к , у р а в н е н и е ( 4 6 ) , д а ю щ е е т е о р е м у п л о щ а д е й , м о ж е т б ы т ь ф о р м у л и р о в а н о т а к : Теорема. Если направление силы постоянно пересекает некоторую ось, то проекция материальной точки на перпенди­ кулярную плоскост,ь движется так, что секториальная ско­ рость ее относительно точки пересечения плоскости и оси есть величина постоянная. 317