Кинематика. Статика. Динамика точки

П о л у ч е н н о е р а в е н с т в о п р е д с т а в л я е т с о б о ю теорему живых сил-. Т е о р е м а . Приращение живой силы, на данном пути равно работе действующей силы на этом пути. Е с л и с и л а з а в и с и т о т в р е м е н и и л и с к о р о с т и , т о , в о о б щ е г о в о р я , н е л ь з я с о в е р ш а т ь и н т е г р а ц и и , н е з н а я т р а е к т о р и и . Н о е с л и с и л а я в л я е т с я ф у н к ц и е й к о о р д и н а т и з а в и с и т т о л ь к о о т п о л о ж е н и я т о ч к и в п р о с т р а н с т в е , т о в ы р а ж е н и е т е о р е м ы ж и в ы х с и л в н е к о т о р ы х с л у ч а я х з н а ч и т е л ь н о у п р о щ а е т с я , к о г д а с и л а , д е й с т в у ю щ а я н а т о ч к у , о б л а д а е т с в о й с т в о м консерватив­ ности. р а с с м о т р и м , в ч е м с о с т о и т э т о с в о й с т в о и к а к в ы р а ж а е т с я п р и н а л и ч и и е г о т е о р е м а ж и в ы х с и л . § 14 . Консервативность сил природы. Все силы природы, м о г у щ и е б ы т ь п р е д с т а в л е н н ым и к а к ф у н к ц и и координат, обла­ д а ю т с в о й с т в о м к о н с е р в а т и в н о с т и , с о с т о ящим в с л е д у ющ е м . р а б о т а , с о в е р ш а е м а я с и л а м и поля , п р и п е р е н о с е материаль­ н о й т о ч к и и з о д н о й т о ч к и п о л я в д р у г у ю , н е з а в и с и т о т п у т и , п о к о т о р о м у с о в е р ш а е т с я п е р ено с , а з а в и с и т т о л ь к о о т положе­ н и я н а ч а л ь н о й и к о н е ч н о й т о ч е к п е р е но с а . М а т е м а т и ч е с к и э т о т з а к о н в ы р а ж а ю т т е м , ч т о с и лы прир о ды , з а в и с я щ и е о т к о о р д и н а т , и м е ю т силовую ф-^нщию. У с л о в и е суще­ с т в о в а н и я с и л о в о й ф у н к ц и и з а к люч а е т с я в т о м , ч т о в ы р а ж е н и е Xdx-\-Y dy-]rZdz е с т ь п о л н ы й д и ф е р е н ц и а л о т н е к о т о р о й ф у н к ц и и коор дина т U, т а к ч т о : dU^^-^^dx-^^d))-\-^ £dz^Xdx-\-Ydy-\-Zdz- о т к у д а с л е д у е т , ч т о : v — к— 7- Ш ^~д^' дг • Т а к и м о б р а з о м , силовая функция есть такая функция коорди­ нат, частные производные которой по координатам равны проекциям действующей силы на соответствующие оси. коор­ динат. П о к а ж е м , ч т о н е д л я в с я к и х п р о и з в о л ь н о в ыб р а н ны х с и л с у щ е с т в у е т с и л о в а я ф у н к ц и я . чг ди '7 Ои П р о д и ф е р е н ц и р у е м у р а в н е н и е г = п о г , а у р а в н е н и еz — ^ п оу , п о л у ч и м : dz ду • dz ду dz •Оу ' о т к у д а , н а о с н о в а н и и с в о й с т в ч а с т ны х п р о и з в о д ны х , д о п о л н я я д л я о с т а л ь н ы х к о о р д и н а т , и м е е м : dY_dZ dZ^dX ^ Ъг Qf д.к dz' йу йх ' 309