Кинематика. Статика. Динамика точки

секающей ее, равна длине линии, помноженной на длину окруж­ ности, которую описывает, центр тяжести этой линии. Положим, что нам дана линия АВ (фиг. 79), вращающаяся около оси zz, и требуется определить поверхность, описывае­ мую при вращении этой линией. Положим, что центр тяжести линии АВ помещается в точке G и расстояние его от оси zz есть л. Разбиваем линию АВ, длину которой обозначим через L, на бесконечно малые элементы тогда, очевидно, что, во -пер­ вых , вся поверхность, полученная от вращения линии АВ, равна сумме поверхностей поясков, описанных элементами dL, а в о - в т о р ы х , что поверхность, описанная каждым таким элементом dL, может быть рассматриваема, как поверхность усеченного конуса. Выразится же каждая такая поверхность произве­ дением окружности среднего сече­ ния на длину dL. Так что, если радиус среднего сечения обозначим через x, то найдем, что поверх­ ность, описанная таким элементом, равна 2'KxdL, а вся поверхность, описанная линией АВ, равна S = J 2'KxdL. Фиг. 79. Вынося 2тс, как постоянное, из-под знака интеграла, имеем: 5=2-11 j X ' dL. Заметим, что расстояние центра тяжести линии АВ от zz выра­ жается формулой: _ JdL-jC'-f Jx-dL где -f — плотность, л:—расстояние центра тяжести ка>1<дого эле­ мента от оси и Z, — длина всей линии. Из этой формулы находим; xL =J X • dL. Подставляя в выражение S вместо j x-dL только что получен­ ное его значение, имеем; S=2^x-L, ' (51) что и требовалось доказать. Ы. в. Шуновокий—370—15 223