Кинематика. Статика. Динамика точки

II. Т е о р е м а . Объем, полученный, от вращения плоской фи­ гури около оси, лежащей в ее плоскости и не пересекающей ее, равен окружности, описанной цент,ром тяжести площади фи- ?уры, помноженной на площадь фигуры. Положим, что нам дана плоская фигура АВ (фиг. 80) с пло­ щадью S и осью вращения zz' и требуется определить объем полученного тела вращения,— в данном случае кольца. Разбива­ ем площадь фигуры на бесконечное множество бесконечно малых прямоугольников mnpq, со сторонами dx dz -ц площадями dS. По краям фигуры образуются при этом незакрытые прямоуголь­ никами бороздки, но в пределе при увеличении числа прямо­ угольников д о бесконечности они исчезнут, так что в пределе объем V всего тела выразится, как предел суммы объемов, по­ лученных от вращения всех та­ ких прямоугольников mnpq. Но объем каждого такого отдель­ ного кольца, образованного пря­ моугольником mnpq, равен раз­ ности объемов цилиндров, опи­ санных прямоугольниками aqpb и атпЬ. Назовем расстояние цен­ тра тяжести прямоугольника от оси вращения zz' через х, а Фиг. 80. объем тела, описанного им, через dV, тогда: dV='K-aq" • pq —Tz-am^-pq, но aq=x+'-^, ат=х—"^^- следовательно, имеем: =K-pq dV=T{^x+'!^y .р^—, (х- "iff-pq= ( f ) ' - х'+х- т,- Cf ИЛИ dV=2'KX'dX'dz. Но [dx'dz) есть площадь бесконечно малого элемента, KoTopyio мы обозначили через dS\ подставив это обозначение, получим: dV=2'KX-dS. Объем же всего тела V выразится формулой.' V-//2:тд:. dS=2'Kfjx- dS. 226