Теория колебаний

где • Решение соответствует периодическим колебаниям ^At) = A^cosico^t + if/Л ^ ^ ^ ' . (6.20) ^2(0 = ^2^05(^0^ + ^2) Колебания происходят около состояния равновесия, в ограниченной области (устойчивость по Ляпунову). На фазовой плоскости будет особая точка типа центр. 3. Пусть Q.>0,S фO,S^^ <Q.. Получаем два комплексно- сопряженных корня Л, = -S+ icOf, , _ ^ , (6.21) — о JCO Q где CD= -\Jcf -5^ . Решения имеют вид: ^1 (О = cos( ®0? + ) (6.22) ^2{t) = A^e-^' cos(®o/' +^2) Поскольку cos((Z)?+ (//)! не превышает 1, то поведение <^(0 определяется множителем е~^'^. Если S>0 , любая из координат стремится со временем к нулю (т.е. состоянию равновесия). Па фазовой плоскости равновесию соответствует особая точка типа устойчивый фокус. Состояние равновесия асимптотически устойчиво. Если д <Q, координата уходит со временем в бесконечность, равновесие неустойчиво (на фазовой плоскости особая точка типа неустойчивый фокус). 4. И последний возможный случай Q> 0,(5 О, но >Q. Корни (6.17) действительные, различные, и знаки определяются знаком Если (5>0,то ^ i<0n^2<0 . Это означает, что <^(0^0, так как ^ О при t ^ O . Состояние равновесия асимптотически устойчиво (соответствует устойчивому узлу). 78