Теория колебаний

Глава ХУ.СВОБОДНЫЕ КОЛЕБАНИЯ В НЕЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ Напомним, что консервативной системой называется такая колебательная система, энергия которой сохраняется неизменной. В действительности таких систем нет, но если время наблюдения невелико, потери энергии за это время пренебрежимо малы, то представление реальной системы консервативной вполне оправдано. В ряде случаев математический анализ консервативных систем значительно проще. Если система к тому же линейная, то результаты могут быть получены в аналитической форме. Для нелинейных систем не всегда возможно получить решения уравнений. Однако качественный анализ консервативной системы с любой нелинейностью может быть проведен методом фазовой плоскости. Последнее утверждение основано на том, что для консервативных систем всегда существует интеграл энергии Н(х,х') = Н„, (4.1) где // q = const. В случае механической системы полная энергия есть сумма кинетической Г(jc,jc')и потенциальной 77(jc) энергий Т{х,х') + П{х) = Н^, (4.2) в электрической системе полная энергия есть сумма электрической и магнитной энергии ЕЛ ^ ) + Е:,(д) = Н„. (4.3) Если даны динамические уравнения, то можно получить выражения, в явном виде связывающие х и х'. Рассмотрим механическую систему: груз, подвешенный к пружине (Рис.30). В общем случае сила упругости является нелинейной 5 Рис.30 57