Теория колебаний

Глава 1.СОБСТВЕННЫЕ КОЛЕБАНИЯ В ЛИНЕЙНОЙ КОНСЕРВАТИВНОЙ СИСТЕМЕ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ (ГАРМОНИЧЕСКИЙ ОСЦИЛЛЯТОР) Уравнение такой системы имеет вид: х" + cDqX = 0 ( 1 1 ) (примерами могут служить математический маятник при малых углах отклонения и идеальный колебательный контур). Решим уравнение (1.1) подробно, пользуясь классическим методом Эйлера. Ищем частное решение в виде: x(t^ = ae^, (1-2) где а и Я- постоянные, пока неизвестные константы. Подставим (1.2) в уравнение (1.1) + = (1.3) Разделим обе части уравнения на ае^' и получим алгебраическое, так называемое характеристическое, уравнение: А'+Шо=0. (1.4) Корни этого уравнения Л = М . (1-5) Л = (1-6) где 7 = - мнимая единица. Корни мнимые и комплексно-сопряжённые. Как известно, обш,ее решение есть сумма частных, т.е. x(t^ = . ( 1 • 7) Мы полагаем, что х{{) есть действительная величина. Чтобы это выполнялось, постоянные а^и должны быть комплексно сопряженными, т.е. x{t) = ae""''' + (1.8) Две постоянные а ж а* определяются из двух начальных условий: jc(0) = jCq, jc'(O) = X q 14