Гидродинамика

170 О ДВИЖЕНИИ ТВЕРДОГО ТЕЛА Гл . I l l некоторое движение, сообщающее жидкости скорость у/ (d^) clt% если бы после этого движение трубки не изменялось, т о xtO прошествии времени t — dt скорость жидкости стала / (0) (/)-[-у/(Л) Л ф (if — Л); но по прошествии с л е д у юще г о элемента времени Л скорость тела еще прирастает, в с л е д с т в и е чего скорость жидкости прирастает на '/^{2dt) dt, так что, ecA.ti бы после этого скорость тела не изменялась, то скороот ! » жидкости через время i — I d i обратилась бы в Z (0) 4'(О ~\~ у! {dt) dt ^ {t —d t ) { 2 d t ) dt {i — 2dt). Продолжая р а с с у­ ждать таким образом и разбив время t на п бесконечно м а л ы х промежутков, найдем, что скорость 5 в конце времени t б у д е т : (0) 4* (t) ~h у/ {dt) {t — dt) dt-\~ у/ {2dt) ^—• 2dt) dt - j . . . ... \ y!i{n-i)dtmt-{n-^)dt]dt или / S = у (0) {i) J (x) 6 (t — .v) dx. 0 Интегрируя no частям S найдем формулу для с/; t Ч {х){^ — х) dx. ( 6 3 ) О Для того чтобы выяснить влияние кривизны оси т р у б к и на движение заключенной в нем жидкости, рассмотрим п о­ лость, имеющую форму тора, вращающуюся с постоянной скоростью около своей оси симметрии. Назовем через Л радиус средней окружности трубки и через а, попрелшему* радиус сечения; отнесем движение жидкости к цилиндрическим координатам, начало О которых лежит в центре кольца, а o c i i Oz идет по оси кольца. Называя через Ь-\ -х, z я '-р цилин­ дрические координаты точки жидкости (о отсчитывается о т плоскости, неподвижной в кольце), выразим злемент д у г и формулой; Л'*® — dx'^ --j- dz~ (Ь л:)"' f/o". ^ Здесь надо принят!) во внимание, что 6(0) = 1, ибо в этом п р е д г ю - •ложснин определены С,. Прим. ред.