Гидродинамика

Гл. Ill •РЕШЕНИЕ ЗАДАЧИ С УЧЕТОМ ТРЕНИЯ 153 § 3 5 . Для первого примера рассмотрим задачу Гельмгольца о колебании около Н13подвижной оси тела, содержащего в своей шаровой полости радиуса а трущуюся жидкость и находяще-- гося под действием пары, момент которой пропорционален угловому перемещению тела, считая от положения его равно­ весия. Примем в формуле (5) ось Ох за ось вращения тела и определим А-, присоединив к твердому телу эквивалентное тело, которое в нашем случае будет материальной точкой, равной по массе жидкости и помещенной в центре шара. При определении внутреннего движения жидкости и зави­ сящей от него величины Р можем предполагать, что стенки полости вращаются около диаметра, параллельного оси вра­ щения. Примем этот диаметр за полярную ось системы поляр­ ных координат, в которых г, 0 и та представляют радиус- вектор, полярный угол и долготу. Согласно нашему воззрению> внутреннее движение жидкости слагается из течения щ v, w, определяемого по формуле (8) первой главы (при "/= 0), и течения и , ю', я/, происходящего от трения. В нашей задаче первое течение будет: dr _ „ _ п dt " ' dt~ dt~ ' для второго же течения Гельмгольц берет; где 'Ь есть функция одного г. Для этого второго течения мы должны определить вихри первого и второго порядка, что делается весьма удобно, при­ лагая теорему Стокса ^ к элементарным четырехугольникам, образованным координатными линиями, потом по найденным 1 Чтобы найти компоненту вихря в направлении данного элемента (см. таблицу), вычисляют циркуляцию по контуру элементарного четырех­ угольника (образованного координатными линиями), поверхность которого ортогональна к взятому элементу; затем применяют теорему Стокса. При вычислении компонент вихрей второго порядка найденные компоненты вихрей первого порядка принимают за линейные скорости точек жидкости в соответствующих направлениях. Прим. ред.