Гидродинамика

Г л . Ill СЛУЧАИ ВИХРЕВОГО ДВШКЕНИЯ ЖИДКОСТИ 125 находится под действием сил, имеющих силовую функцию, а тело получает какое-нибудь движение. Решение этого вопроса, подобно изложенному в § 6, удобно получается из теоремы Томсоиа. Отбрасывая посту­ пательное движение, как не влияющее на внутреннее движе­ ние жидкости, делаем начало О наших подвижных осей Ох, Од, Oz неподвижным. Выражаем проекции абсолютной ско­ рости точки жидкости на эти оси через: L ' 1 / (3) где функция ®определяется по § б, а и', t!, и/ — некоторые добавочные скорости, которые в начальный момент имеют величины, данные в § 29. Так как течение с функцией скоростей 9 не имеет вра­ щений, то компоненты вихря в движении нашей жидкой массы выражаются по формуле (1); с другой стороны, так как А2®=0 и ^ равна нормальной скорости самих стенок, то течение и', и', w ' не дает изменения объема и имеет поверхностью тока стенки полости. Выведем уравнения, вытекающие из того }'словия, что полные ускорения в абсолютном движении жидкости имеют однозначную потенциальную функцию. По теореме Томсона это условие требует, чтобы полная произ­ водная от циркуляции скорости по всякому замкнутому кон­ туру была равна нулю. Вообразим неподвижные оси коорди­ нат Ох , Ох]\ Oz', совпадающие в рассматриваемый момент времени с нашими подвижными осями, и построим бесконечно малый треугольник аЬс. Назовем координаты точек жидкости й, Ь и с относительно неподвижных осей через (х^, у , z'), {х", у", z"), z'"), площадь треугольника—через а, ее проекции — через: