Теория электромагнитного поля

Дифференцируя первое уравнение по х, а второе по у, получаем: д^и д^и дх^ ду^ Дифференцируя первое уравнение по у, а второе по х, получаем: = 0. дх^ ду^ И действительная, и мнимая части любой аналитической функции удовле­ творяют уравнению Лапласа. Это показывает важность применения аналитиче­ ских функций комплексного переменного при поиске потенциальных функций, удовлетворяющих уравнению Лапласа. Пусть функция W= f{z) отображает плоскость z на плоскость w. Тогда точке плоскости z с координатами х, у соответствует на плоскости w точка с координатами и = и{х,у), v = v(x,y). Закон распределения потенциала на плоскости z может быть выражен с помощью функции и(х,у). Направляющие пространственных эквипотенциаль­ ных цилиндров в плоскости (х, у) представляются кривыми и(х,у) = U q = const. Кривые v(x, y) = VQ= const ортогональны в любой точке эквипотенциалям и совпадают с силовыми линия­ ми поля. Два указанных семейства кривых образуют ортогональную сетку в плоскости Z. Напряженность поля в любой точке находится по выражению _ ди _ ди -l L у. — ^ ^ Л) — ^ ' Эх -> ду E = pi+Ei=\f'{z)\. На рис. 1.8 слева показана комплексная плоскость z с координатами х, у сечения двух цилиндрических поверхностей /i, /2. Предполагается, что эти по­ верхности имеют потенциалы = 2,ф2 =5. Справа показана комплексная пло- 22