Теория электромагнитного поля

1.4. Функции комплексного переменного и конформное отображение Рассмотрим две комплексные переменные - z = х + jy и w = и + jv. Зави­ симость W = f{z) означает, что комплексному числу z как аргументу соответст­ вует комплексное число w - функция от z. В общем случае это указывает на то, что действительная и мнимая части комплексного числа w зависят от координат хиу , т.е. и = и{х,уУ, v = v{x,y). Можно сказать, что соотношение w = J{z) отображает комплексную плос­ кость Z (или ее часть) на плоскость w (или ее часть). Будем полагать, что эта функция однозначная и дифференцируемая. Следовательно, существует пре­ дельное значение / ( z +Az ) -/ ( z )_ , lim / {z), Az->0 ISZ не зависящее от того, как Az стремится к нулю. Справедливо приближенное соотношение: Aw - f\z)^z, т.е. производная показывает, насколько следует растянуть или укоротить и на­ сколько надо повернуть элемент Az, чтобы получить элемент Aw. Дифференцируемая функция называется аналитической или регулярной. Пусть в произвольной точке zq комплексной плоскости z пересекаются две кривые /i, /2 (см. рис. 1.7). Их отображение на плоскость w дает две кривые Xi, Х2, пересекающиеся в точке WQ = / (ZQ) . Допустим, что угол между касательными, проведенными в точке ZQ К двум кривым /1, /2, имеет значение а. Тогда угол между касательными, проведенны­ ми в точке Wq К двум кривым Xi, Х2, имеет то же значение а. 20