Теория автоматического управления

233 Очевидно, что устойчивость по Ляпунову будет гарантирована, если в окрестности .v = О выполняется условие F(.г)<О. Функция F (.t]<0, F(0) = 0 называется 0)fipmfm)iejbH0 jfajyojipedaieTiHoi). 3) При р >7: /2 значение cos ^ > Он F(,v)>0. В этом случае фазовая тра­ ектория, прошивая поверхности уровня, удаляется от т = О, т.е. невозмущенное движение .г = 0 неусто1ПЕВо, Таким образом, справедливы слелутощие теоремы Ляпунова. Теорема 1, Невозыушенное движение системы (31) устойчиво по Ляп>иову, если в некоторой ето окрестности сутцествует функция V(() ] = О производная которой F(.v^ < О. Теорема 2, Невозм^тценное движение .v = 0 системы (31) асимптотически устойчиво, если в некоторой его окрестности сушествует ф>'нкдЕЯ F(.r)>0. V(() ] = О производная которой F(.v^ < О. Если в некоторой окрестности л* = 0 выполняются условия F (.t]>0 и К(,г)<0, то оценкой области прнтяжения невозмушенного движения .т = 0 яв- .ляется множество 77 = {.г: F(.т) < /, V{x )<0}. Если при 'зтом K(,r)<-ofF(.v), то множество Л является оценкой облас­ ти экаюиеи1^1Ш1Ь}^ого притяжепия невозмушенного движения т.е, для каждого х{г^) е i J . выполняется неравенство V(.v) < которое следует из неравенства dV(x]/ V{x)<-аdt. Основным достоинством метода функций Ляпунова является отсутствие необходимости построения решений системы. С другой стороны эффектив­ ность метода зависит от выбора функции Ляпунова, построение которой явля­ ется самостоятельной задачей. Рассмотрим случай линейных систем, полагая в уравнении (31) F(.т) = Лх .