Теория автоматического управления

231 2.5Л, Метод функций Ляпунова PaccMOTpnii задачу опреде.^ения устойчивости невоэм>тценного движения .г = О по уравнениям возмущенного движения системы .r =F( . v) . .v(f „) = .T„, ( 31 ) где x eR" - вектор состояния, /"(.т) - вектор-функцня. удовлетворяющая усло­ виям существования и единственности решения уравнения (31). Если невозмущенное движение .v = 0 асимптотически устойчиво, то в ок­ рестности существует область притяжения 77 :|| ]||< обладающая тем свойством, что все траектории с начальньвш значениями и^ области при­ тяжения П асимптотически притягиваются к невозмущенному движению, т е, |.г(^,Гц ]|—>оо при г —>сс'. Если область притяжения достаточно мала, то имеет­ ся в малом. Если область притяжения П имеет конечные размеры (значение у удовлетворяет заданным требованиям), то имеется уапоичиеопль в большом. Если область притяжения совпадает со всем пространством то имеется ycmomneocifib е Метод функций Ляпунова позволяет не только устанавливать наличие ка­ кого-либо типа устойчивости невозмущенного движения, но и строить оценки области притяжения. Для анализа устойчивости используются фуящии JTяпy}ioвa - непрерывно дифференцируемые положительно onpede .ieTifibie функции Г(.г)>0 в некото­ рой окрестности .г = 0, причем Г(.т] = 0. ЕЕримером такой функции является квадратичная форма V(x] = х^Р.х , где Р > О - положительно определенная мат­ рица, и:меющая положительные главные диагональные миноры. В частном слу­ чае при Р -Ejj пол>'чим функцию V{x]-xf +... + Л'^. Д.ля ф>т1кции Ляпунова уравнениям F(.r) = q^ ^^2 соответ­ ствуют поверхности уровня, шюженные др>т в друга (рис. 20). Вычислим производн>ло V(.т] с учетом уравнения (31):