Теория автоматического управления

214 соответствует значение координат . .Т2(/^), изображаемое на фазовой плоскости O.v^.Vj точкой (изображающая точка). Движение изображающей точ­ ки по фазовой плоскости прочерчивает линию, называемую фазовой ^ираекню- piteii. Наиболее распространен способ изображения, при котором используются две фазовые переменные: координата .т и скорость ее изменения .^2 = dv-^ /dt. Уравнения (3) при этом принимают вид = '^2- (4) = /С^1..Г2). dt dxj dt Поделив второе уравнение на первое, пол>'^иш дифференциальное урав нение интетральной кривой на фазовой плоскости dxj _ /(л-р.Га) dx. = !^^СТ1,.Г2). (5) Решение этого уравнения дает уравнение кривых, совпадающих с фазо­ выми траекториями {фазовым nopnipeiuoM). Фазовые траектории для системы в виде (5) имеют следующие особенности: 1. Если ф^^нкция определена и непрерывна, имеет непрерывные частные производные по своим аргументам, то через любую точку фазовой плоскости, за исключением состояний равновесия (особых точек), в которых = 0, /(.г^,л"з) = О, проходит единственная интегральная кривая, т.е. фазовые траектории не пересекаются в неособых точках. 2. В верхней по.луп.лоскости > О изображающая точка движется по фазовой траектории слева направо, так как координата х 1\южет только возрастать. При .1^2 <0 движение происходит справа налево (рис. 4). 3. В точках .Т2 = 0, /(.Тр.Тз) О фазовые траекто- рщ. 4 рии пересекают ось абсцисс под прямым утлом, поскольку для касательной к фазовой траектории в этих точках /dx^ - сс. .^2 0 J