Теория автоматического управления

Jj = I {t)Qx{t)dt. 156 (1.147) где ' 0 1 ' "1 0 " А = 0 9 1 1 (N 1 1 _ T Найдем вспомогательную функцию V (x) = x Kx , для которой выполня­ ется свойство V(x) = —x^Qx. Тогда GO 0 0 CO J V{x)dt = J dV (x) = V (x(oo)) - V (x(0)) =-J {t)Qx{t)dt 0 0 0 Поскольку при t ^ со выполняется условие x(t) ^ О, то V (x(oo)) = О и, следо­ вательно, V (x(0)) =J {t)Qx{t)dt. т.е. Ji=V(x(0))==x^(0)Kx(0). С учетом уравнения (11) получим V(х) = х^Кх + х^Кх = х^ + КА^ х = -x^Qx. Поэтому для произвольных значений вектора х справедливо равенство A^K + KA = -Q, (1.148) которое называется уравнением Ляпунова относительно неизвестной матрицы К . Уравнение (13) обладает свойством {А^ К + KAf = А^К^ + А = -Q^ = -Q, т из которого следует, что матрица К также является решением уравнения т (1.148). Следовательно, матрица К = К , т.е. является симметричной. Для рассматриваемой системы получим уравнение