Теория автоматического управления

133 ответить на вопрос об устойчивости корней характеристического уравнения (1.122) можно с помощью критерия Найквиста. Для этого вместо передаточной функции (1.121) будем использовать приближенную передаточную функцию Щр ) =Щр ) е ' ' " = (1.123) <f(p)(ep + l) где S - сколь угодно малое, N - сколь угодно большое целое число. Очевидно, что при передаточная функция W(p)^W(p). Также отметим, что при г = О согласно критерию Найквиста устойчивость замкнутой системы не зави­ сит от сколь угодно малой постоянной времени s . Передаточной функции (1.123) соответствует функция л 1 л d{p){sp + \Y +т{р)е~Р^ F{p) = 1 +Щр)= f / -ьр , d{p){sp + \) у которой при N ^ со порядок полиномов числителя и знаменателя можно счи­ тать одинаковыми. Тогда согласно критерию Найквиста для устойчивости замкнутой системы необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента функции F(J(D) при изменении 0<ю<оо было равно 2я-т/2 раз, где т - число правых корней характеристического уравнения d{p){sp + V)^ = О или уравнения d{p) = 0. Нри функция F{jсо) ^F{jсо) и условие устойчиво­ сти сохраняется, т.е. совпадает с условием устойчивости системы без запазды­ вания. Поэтому для исследования устойчивости замкнутой системы с переда­ точной функцией разомкнутой системы (1.121) необходимо построить ее АФЧХ и применить критерий Найквиста. Выражение АФЧХ имеет вид: W{jco) = WQ{jco)E-J'"^ =1 WQUCO) \ . (1.124) Из формулы (1.124) следует, что при наличии запаздывания вектор JV q (jcu) поворачивается на угол -сот, не меняя своей длины, что приводит к повороту АФЧХ по часовой стрелке. Если без учета запаздывания замкнутая система устойчива и на частоте среза со^.р имеет запас устойчивости по фазе ср-^, то система с запаздыванием выходит на границу колебательной устойчивости