Теория автоматического управления

114 уравнения системы, а частотные - по виду соответствующих частотных харак­ теристик. Пусть задано характеристическое уравнение линейной системы D{p)=\pE^-A\=aQp"+a^p"~^ + ---+ a^=0, а^=\. (1.110) 1.6.4.1. Критерий Стодола Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1.110) необхо­ димо, чтобы коэффициенты <2, > О, i = 0,n. Доказательство. В соответствии с теоремой Безу уравнение (1) можно представить в виде произведения множителей, содержащих корни , г = 1,и: D(P) =%{р - р^){р-Р2)...(Р-Р„) = 0. (1.111) Пусть все корни левые, причем для вещественных корней коэффициенты -Pj > О, а для комплексно-сопряженных корней р- = , р^^^^ = Д = множители {Р - Pi){P - Pi+\) = Р^- (Pi + Pi+i)P + PiPi+i =P^- ^(^iP + имеют полиномы 2-го порядка с положительными коэффициентами, поскольку -а, >0. Тем самым, если раскрыть полином (1.111) с положительными коэф­ фициентами и привести к виду уравнения (1.110), то его коэффициенты также будут положительными. Отсюда следует критерий Стодола. Очевидно, что возможны случаи, когда некоторые коэффициенты урав­ нения (1.111) отрицательные, а коэффициенты уравнения (1.110) положитель­ ные, т.е. критерий Стодола является только необходимым. Однако, если в урав­ нении (1.110) хотя бы один коэффициент а^<0, то система неустойчива. Это условие является достаточным для неустойчивости системы. 1.6.4.2. Критерий Гурвица Для устойчивости системы с характеристическим уравнением (1.110) не-