Теория автоматического управления

112 1.6.3. Теоремы Ляпунова об устойчивости по линейному приближению Возвращаясь к исходной нелинейной системе (1.103) возникает вопрос об ее устойчивости в зависимости от устойчивости ее линейного приближения - системы (1.104). Впервые этот вопрос был поставлен и решен А.М.Ляпуновым в 1892 году и сформулирован в виде следующих теорем. Теорема 1. Если все корни характеристического уравнения линеаризо­ ванной системы (1.104) левые, то невозмущенное движение нелинейной систе­ мы (1.103) асимптотически устойчиво. Теорема 2. Если среди корней характеристического уравнения линеари­ зованной системы (1.104) имеется правый корень, то невозмущенное движение нелинейной системы (1.103) неустойчиво. Теорема 3. Если характеристическое уравнения линеаризованной систе­ мы (1.104) имеет левые корни и корни, расположенные на мнимой оси (крити­ ческий случай), то в этом случае нельзя судить об устойчивости нелинейной системы (1.103) по линеаризованной системе (1.104). Следует отметить, что устойчивость системы по тереме 1 определяется в малой окрестности от положения равновесия и в общем случае устойчивость нелинейной системы зависит от начальных условий. Для исследования устойчивости линейных систем с помощью вычисли­ тельного пакета MATLAB коэффициенты характеристического уравнения сис­ темы (1.105) начиная со старшей степени полинома могут быть найдены с по­ мощью команды р=ро1у(А). Корни характеристического уравнения опреде­ ляются с помощью команды roots (р) или команды eig (А). Пример 1.21. Определить устойчивость системы с матрицей "О 1 О" ^ = 0 0 1 -3 -2 -1 С помощью команд А= [о 1 0;0 О 1;-3 -2 -1];а=ро1у(А),p=roots(а)