Теория автоматического управления

I l l Установим связь устойчивости линейной системы по входу с устойчиво­ стью невозмущенного движения. Для этого рассмотрим систему х = Ах +Ви, jc(0) = jCo, (1.108) полагая и = и +Aw, и =0, | |< <оо, j = \,m, т.е. ||Аг/||<оо. Решение системы (1.108) имеет вид t x(t) = e^^Jc(O) +1 e'^^'~^^BAu{T)dT, 0 для которого справедливо неравенство d r , (1.109) i=l О V г = 1 J где Cj - вектор, зависящий от значений Auj . Отсюда следует, что если корни Pi, i = \,п левые, то при t ^со интеграл в правой части неравенства (1.109) ог­ раничен и, следовательно, || л:(/') ||< оо. Таким образом, из условия устойчивости невозмущенного движения сле­ дует устойчивость системы по входу. Справедливо и обратное утверждение. Вопросы для самопроверки 1. От чего зависит асимптотическая устойчивость линейной системы? 2. В каком случае система находится на границе устойчивости? 3. В каком случае система является неустойчивой? 4. Почему из асимптотической устойчивости линейной системы следует устой­ чивость системы по входу? 5. Можно ли утверждать, что если реакция системы на единичный скачок огра­ ничена, то система является асимптотически устойчивой?