Теория автоматического управления

109 имеет кратные корни />^2=0 - Тогда решение x{t) можно записать с помощью формулы Таким образом, система неустойчивая по Ляпунову. Отметим, что система примера 1.19 в отличие от системы примера 1.20 не может быть приведена к дифференциальному уравнению 2-го порядка. Это от­ ражается на устойчивости данных систем. С учетом сказанного выше следует, корневой критерий устойчивости ли­ нейной системы: Для асимптотической устойчивости линейной системы необходимо и достаточно, чтобы все корни характеристического уравнения системы имели отрицательные вещественные части, т.е. располагались в левой комплексной полуплоскости. Если имеется хотя бы один корень с положи­ тельной вещественной частью, то система неустойчивая. Если имеются корни, расположенные на мнимой оси, то устойчивость системы по Ляпу­ нову зависит от структуры матрицы системы, т.е. наличия жордановых блоков для данных корней. При отсутствии жордановых блоков для корней с нулевой веш,ественной частью и остальных корней, расположенных в левой полуплоскости, система устойчива по Ляпунову. В этом случае также говорят, что система находится на границе устойчивости. При этом в случае нулевых корней система находится x{t) = {E2 + A{t-tQ))x{tQ), т.е. X^it) = X^itQ) + it-tQ)X2itQ), X2(t) = X2(tQ) (рис. 1.62). Рис. 1.61 Рис. 1.62