Теория автоматического управления

107 4. Почему уравнение возмущенного движения в отклонениях от невозмущенно­ го движения является нестационарным? 5. В чем отличие устойчивости по Ляпунову от асимптотической устойчивости? 1.6.2. Устойчивость линейных систем При малых отклонениях вектора х функцией ф{х) можно пренебречь и тогда из системы (1.103) следует линейная система: х = Ах, x(tQ) = XQ. (1.104) Следует отметить, что возможны случаи, когда в системе (1.103) функция ф{х) = о, т.е. система является линейной, при этом отклонении вектора х могут быть произвольными. Для определения устойчивости системы (1.104) по Ляпунову необходимо проанализировать поведение нормы вектора 1 x{t) \ \ , где решение x{t) при = 0 в случае различных корней определяется по формуле (1.95) и удовлетво­ ряет неравенству /=1 Здесь комплексному корню соответствует комплексный вектор с-, норма ко­ торого равна корню квадратному из суммы квадратов модулей координат век­ тора с,. Таким образом, поведение нормы вектора ||x(?)|| зависит от функций I I, и в случае кратных корней /?• - может зависеть от функций | |, | \, Рассмотрим различные случаи распределения корней д = + jfЗ^ харак­ теристического уравнения d{p) =1 рЕ^ - А\= р" + а^р"'^ ч h = О (1.105) на комплексной плоскости, которым соответствует выражение