Теория автоматического управления

106 маятник, приведенный на рис. 1.60. Здесь начальное угловое положение маят­ ника \(p(tQ)\<d. Поэтому при свободных колебаниях маятника будет выпол­ няться условие I (pit) \<S<s, т.е. движение маятника устойчиво по Ляпунову. Если движению маятника препятствует сопротив­ ление среды, то его колебания будут затухающими и тем самым движение является асимптотически устойчивым. В дальнейшем будем рассматривать систему (1.101) при и {t) = const в отклонениях от невозмущенного движения, опуская для просто­ ты символ А: i = /(jc), x{tQ) = XQ, (1.102) где /(0) = О. Разлагая функции fi{x), i = \,п в ряд Тейлора, получим Рис. 1.60 j=i oxJ JC.+^^JC), x=0 где ф^(х) - слагаемые содержащие члены выше первого порядка малости. Тогда уравнение (1.102) можно переписать в виде: х = Ах + ф(х), x(tQ) = XQ, (1.103) где постоянная матрица А определяется по формуле Sfi(x) 5/i(jc) А = df{x) дх х=0 dxi Sxi дх^. дх„ х=0 Вопросы для самопроверки 1. Что понимается под устойчивостью системы? 2. В чем отличие устойчивости невозмущенного движения и устойчивости по входу? 3. Какой геометрический смысл имеет устойчивость по Ляпунову?