Теория автоматического управления

105 го сколь угодно малого £ •> О найдется d{s) > О такое, что при начальных усло­ виях ||Лх(?о)|Н1-^(^о)--^Ч^о)11<^ выполняется неравенство || Ал:(?) ||=|| x{t) - x*(?) ||< ^ при t>tQ. В противном случае невозмущенное движение называется неустойчивым по Ляпунову. Определение 2. Если исходная система (1.96) (или (1.101)) устойчива по Ляпунову и выполняется также условие lim Ах(?) = О, то невозмущенное дви- t^co жение X* (t) системы (1.96) (или Ax(?) = 0 системы (1.101)) асимптотически устойчиво. Если исходная система асимптотически устойчива для любых начальных отклонений, то невозмущенное движение устойчиво в целом. Приведем геометрическую интерпретацию определения устойчивости по Ляпунову для случая п = 2. На рис. 1.58 невозмущенное движение х*{t) явля­ ется осью трубки с внутренним 5 и внешним s радиусами. При этом возму­ щенное движение x{t), соответствующее кривой 1, является устойчивым по Ляпунову, а кривой 2 - асимптотически устойчивым. Па рис. 1.59 приведены соответствующие возмущенные движения /Sx{t) в отклонениях от невозмущен­ ного /Sx(t) = О . О t Дх. Дх Рис. 1.58 Рис. 1.59 Примером устойчивой системы по Ляпунову является математический