Теория автоматического управления

101 сти И- {п = щ+ ... + п^),то Q помощью преобразования М, \ М \ фО любую веще­ ственную матрицу А можно привести к блочно диагональной форме Жордана: А = MJM~^ = diag j (д-) | , (1.92) где J j i P j ) - / x// - жордановый блок ( ^ / / =и, ) вида j=i АР i) = 1 0 ... 0 0 1 ... 0 1 0 0 0 ... Pj Тогда формулу (1.89) с учетом свойства можно записать в виде Ф(АО =М Е„ + JM +... + +. 2! к\ М"^=М/^'М"\ (1.93) а) В частном случае, когда / = 1, J j ( д ) = Pj и матрица J является диа­ гональной. Тогда с учетом свойств диагональных матриц матричную экспонен­ ту можно представить в виде: = diag{e^'^}. Для данного случая с помощью представления матриц М = [mi ; ; ifij], М формулу (1.93) можно переписать в виде - 1 J п, J Ф(АО = = Yj^i^ (1.94) Т где Qj =т^п^ -nxn - матрицы. Тогда решение однородной системы (1.86) при = О запишется в следующей форме x{t) = Ф{t)x{Q) = J^Qe^''x(0) = i=i i=i (1.95)