Теория автоматического управления

100 x{t) = 0(A?) jc (? q ) = f = A A + —At + ... + —A^At^ ^+... 2! k\ r 1 ^ + AAt +... + A^-^At^-^ +.. jc(?o) = jc(?o) = ^Ф(А?)л'(?о) = Ax(t). Отсюда следует первое свойство переходной матрицы Ф(А?) = AQ(At) (1.90) Поскольку выполняется равенство: x(t) = Q(At)x(tQ) = Q(t - tQ)Q(tQ)x(0) = Q(t)x(0), TO, очевидно, что для произвольных начальных условий jc(0) выполняется вто­ рое свойство Ф(0 = Ф(?-?оЖ^о)- (1.91) или С помощью формулы (1.91) решение (1.85) можно записать для началь­ ных условий в произвольный момент времени: t x{t) = Ф(?)д'(0) + /Ф(г - T)Bu{T)dT = о to t =Ф ( ' - ' о ) Ф ( ' о МО ) + I Ф(? - )Ф (^0 ~ т)Ви{т)с1т + I Ф(? - т)Ви{т)с1т = 'о Ф(?-?о) ^0 I t Ф('оМО) + /ф(го -т)Ви(т)с!т + /ф(г - т)Ви{т)с!т 'о = Ф(? - )x(tQ ) + I Ф(? - т)Ви{т)с1т. to 3) Метод преобразования подобия Из теории матриц известно, что если характеристическое уравнение d{p) =1 рЕ^ -А\=р"+ а-^р" ^ + • • • + = О имеет различные корни p^, i = \iu (собственные значения матрицы А) кратно