Теория автоматического управления

x{t) = 0(?)jc(0) + |Ф(^ - т)Ви(т)с1т, 99 С помощью обратного преобразования Лапласа по выражению (1.84) на­ ходится оригинал x(t). Также из выражения (1.78) согласно теореме о свертке следует выраже­ ние для оригинала t (1.85) где Ф{t) = L называется переходной матрицей, причем первое слагаемое определяет свободной движение, а второе слагаемое вынужденное движение системы (1.77). 2) Метод разложения в бесконечный ряд Из выражения (1.85) следует, что решение x{t) зависит от матрицы Ф(0, которую можно искать независимо от входного сигнала u{t). Поэтому в урав­ нении (1.77) положим u{t) = 0. Найдем решение однородного уравнения x(t) = Jx(t), x(tQ ) = л:о, (1.86) полагая t = tQ+/S.t. Решение jc(?o+A?) разложим в ряд Тейлора относительно начального значения jc(?o): jc(?) = jc(?Q) + .x(?Q)А?ч—3C(?Q)A? +...Ч— х^ ^(?Q)A? +... (1.87) 2! к\ Учитывая, что x{tQ) = Ax{tQ), x{tQ) = Ax{tQ) = A^x{tQ), ..., x''^\tQ) = A^x{tQ) вы­ ражение (1.87) перепишем в виде x(t) = 0(A?)jc(?o) (1• 88) где Ф(АО = Е^+ AM+ +... +j A^M^ +... = , (1.89) т.е. переходная матрица травиа.матричной экспоненте. Путем подстановки нетрудно убедиться, что решение (1.88) удовлетворя­ ет уравнению (1.86):