381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

78 0 0 0 2 2 2 ( ) ( )cos cos ( )cos f x f d xd a xd +∞ +∞ +∞   ⇒ = θ ωθ θ ω ω = ω ω ω    π π π   ∫ ∫ ∫ ɶ , где введено вспомогательное обозначение 0 2 ( ) ( )cos a f d +∞ ω = θ ωθ θ π ∫ ɶ . Таким образом , для четной функции ( ) f x в случае выполне - ния достаточных условий представления функции интегралом Фу - рье имеют место соотношения : 0 2 ( ) ( )cos ; f x a xd +∞ = ω ω ω π ∫ ɶ (64) 0 2 ( ) ( )cos . a f x xdx +∞ ω = ω π ∫ ɶ (65) Соотношения (64) и (65) называют парой косинус - преобразований Фурье , причем соотношение (65) называют пря - мым косинус - преобразованием Фурье , а соотношение (64) – об - ратным косинус - преобразованием Фурье . Пара синус - преобразований Фурье для нечетной функции Пусть ( ) f x представима интегралом Фурье и является нечет - ной , тогда ( )cos f x x ω – нечетная функция , а ( )sin f x x ω – четная функция . Используя свойство определенного интеграла при интег - рировании по симметричному промежутку для четной и нечетной функции (58) и (59), преобразуем соотношения (62): 1 ( ) ( )cos 0 a f d +∞ −∞ ω = θ ωθ θ = π ∫ , 1 2 ( ) ( )sin ( )sin b f d f d +∞ +∞ −∞ −∞ ω = θ ωθ θ = θ ωθ θ π π ∫ ∫ . (65)