381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

79 С учетом соотношений (66) представление (61) функции ( ) f x принимает вид : 0 0 0 2 ( ) ( )sin ( )sin sin f x b xd f d xd +∞ +∞ +∞   = ω ω ω = θ ωθ θ ω ω ⇒   π   ∫ ∫ ∫ 0 0 0 2 2 2 ( ) ( )sin sin ( )sin f x f d xd b xd +∞ +∞ +∞   ⇒ = θ ωθ θ ω ω = ω ω ω    π π π   ∫ ∫ ∫ ɶ , где введено вспомогательное обозначение 0 2 ( ) ( )sin b f d +∞ ω = θ ωθ θ π ∫ ɶ . Таким образом , для четной функции ( ) f x в случае выполне - ния достаточных условий представления функции интегралом Фу - рье имеют место соотношения : 0 2 ( ) ( )sin f x b xd +∞ = ω ω ω π ∫ ɶ ; (67) 0 2 ( ) ( )sin . b f x xdx +∞ ω = ω π ∫ ɶ (68) Соотношения (67) и (68) называют парой синус - преобра - зований Фурье , причем соотношение (68) называют прямым синус - преобразованием Фурье , а соотношение (67) – обратным синус - преобразованием Фурье . Замечание . Интегральная теорема Фурье предполагает зада - ние функции ( ) f x на всей числовой оси Ox . В том случае , когда функция ( ) f x задана только на положительной полуоси [ ) 0; +∞ , то функцию можно представить либо формулами (63), (64), либо (67), (68). В первом случае интеграл Фурье дает четное , а во втором не - четное продолжение функции ( ) f x с полуоси [ ) 0; +∞ на полуось ( ;0] −∞ .