381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

77 рье в вещественной форме (12) и (13). Прослеживается очевид - ная аналогия между рядом Фурье в вещественной форме ( ) ( ) 0 1 ~ cos sin 2 k k k a f x a k x b k x ∞ = + ω + ω ∑ и формулой (61), а также между выражениями ( ) a ω , ( ) b ω и вещественными коэффициентами ряда Фурье ( ) 2 cos ; T k a f x k x dx T α+ α = ω ∫ ( ) 2 sin T k b f x k x dx T α+ α = ω ∫ . Отметим , что соотношения (62) называются прямым преобразова - нием Фурье в вещественной форме , а соотношение (61) – обрат - ным преобразованием Фурье в вещественной форме . Пара косинус - преобразований Фурье для четной функции Пусть ( ) f x представима интегралом Фурье и является чет - ной , тогда ( )cos f x x ω – четная функция , а ( )sin f x x ω – нечетная функция . Используя свойство определенного интеграла при интег - рировании по симметричному промежутку для четной и нечетной функции (58) – (59), преобразуем соотношения (62): 0 1 2 ( ) ( )cos ( )cos a f d f d +∞ +∞ −∞ ω = θ ωθ θ = θ ωθ θ π π ∫ ∫ ; 1 ( ) ( )sin 0 b f d +∞ −∞ ω = θ ωθ θ = π ∫ . С учетом соотношений (63) представление (61) функции ( ) f x принимает вид : 0 0 0 2 ( ) ( )cos ( )cos cos f x a xd f d xd +∞ +∞ +∞   = ω ω ω = θ ωθ θ ω ω ⇒   π   ∫ ∫ ∫ (63)