381Ряды Фурье. Интеграл Фурье. Преобразование Фурье

76 ( ) 1 0 0 1 1 ( ) ( )cos ( ) f x F d f x d d +∞ +∞ +∞ −∞   ⇒ = ⋅ ω ω = θ ω − θ θ ω   π π   ∫ ∫ ∫ ; ( ) 0 1 ( )cos ( ) f x f x d d +∞ +∞ −∞   = θ ω − θ θ ω   π   ∫ ∫ . (60) Формула (60) – вещественная форма интеграла Фурье . Интеграл Фурье в виде , аналогичном ряду Фурье в вещественной форме . Преобразование Фурье в вещественной форме Преобразуем (60) с помощью формулы тригонометрии : cos( ) cos cos sin sin α − β = α β + α β ; ( ) 0 0 1 1 ( )cos cos ( )sin sin f x f x d d f x d d +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞     = θ ω ωθ θ ω+ θ ω ωθ θ ω ⇒     π π     ∫ ∫ ∫ ∫ ( ) 0 0 1 1 ( )cos cos ( )sin sin f x f d xd f d xd +∞ +∞ +∞ +∞ −∞ −∞     ⇒ = θ ωθ θ ω ω+ θ ωθ θ ω ω     π π     ∫ ∫ ∫ ∫ ; ( ) 0 0 ( )cos ( )sin f x a xd b xd +∞ +∞ = ω ω ω + ω ω ω ⇒ ∫ ∫ ( ) [ ] 0 ( )cos ( )sin , f x a x b x d +∞ ⇒ = ω ω + ω ω ω ∫ (61) где 1 1 ( ) ( )cos ; ( ) ( )sin a f d b f d +∞ +∞ −∞ −∞ ω = θ ωθ θ ω = θ ωθ θ π π ∫ ∫ . (62) Соотношения (61) и (62) называют интегралом Фурье в вещественной форме , записанным в виде , аналогичном ряду Фу -